Per rimanere nel tema del precedente post sulla regressione lineare, cioè la statistica, vi propongo una funzione PHP davvero semplicissima che calcola altri quattro fra i più utilizzati indici della cosiddetta “statistica descrittiva”:

1. deviazione standard
2. varianza
3. covarianza
4. correlazione di Pearson

Vediamo brevemente cosa rappresentano e come si calcolano.

Le prime due (deviazione standard e varianza) sono strettamente legate, e servono a fornire la dimensione della dispersione dei dati. Per capire meglio, immaginiamo due serie di dati: a = { 2, 4, 3, 2.5, 3.5, 3 } e b = { 1, 5, 9, -3, -12, 18 }.
In entrambi i casi la media è 3, mentre la deviazione standard di a è = 0.6455 e quella di b è = 9.3986. La deviazione standard ci dice che i dati di b sono molto più dispersi di quelli di a ( …per chi non lo avesse già capito ad occhio!). Bisogna però pensare che la serie potrebbe essere molto lunga e a quel punto il metodo “occhio-metrico”, ovviamente non ci sarebbe di aiuto!

La deviazione standard viene calcolata facendo la radice quadrata della media dei quadrati degli scarti. In effetti elevando al quadrato gli scarti, ci si mette al riparo dalla compensazione che potrebbe essere data dagli scarti positivi e quelli negativi che altrimenti, si annullerebbero

La formula per il calcolo della deviazione standard è:

La varianza è il quadrato della deviazione standard, e non ci dice nulla di più o di meno…

Formula della varianza:

La covarianza ci indica invece quanto sia contemporanea la variazione di due variabili. E’ interessante notare che, se le due variabili coincidono, ovvero x=y la covarianza diventa la varianza di x.

La formula è:

I valori che assume la covarianza, non sono troppo leggibili… nel senso che non danno immediatamente il senso della variazione, se non agli addetti ai lavori. In nostro soccorso però, esiste un’altra misura che già dal nome, ci pare di più immediata leggibilità: la correlazione.

Indice di correlazione di Pearson:

La correlazione di Pearson (nella foto in alto) è il risultato della covarianza diviso il prodotto delle deviazioni standard delle due variabili che si stanno confrontando. Questa misura serve a capire quanto due serie di variabili casuali siano legate fra loro, si dice, appunto: correlate.

Questo coefficiente assume sempre valori compresi fra -1 e +1 e rileggendo le definizioni dei parametri precedenti, è facile capire il perché!

Analizzando il risultato possiamo stabilire che:

• se ρxy > 0 esiste una correlazione positiva, tanto maggiore quanto ci si avvicina a ρxy = 1
• se ρxy = 0 non c’è correlazione fra le due variabili, ovvero sono indipendenti
• se ρxy < 0 esiste una correlazione negativa, tanto maggiore quanto ci si avvicina a ρxy = -1

Sembra piuttosto semplice, ma attenzione alle trappole della statistica: se due variabili danno come risultato del coefficiente di correlazione: 0.87, non è necessariamente detto che abbiano un rapporto di causalità diretto (x dipende da y o viceversa). E’ altrettanto probabile che entrambe dipendano da una terza variabile z che rappresenta una causa comune.

Ed ecco dunque il codice PHP della funzione che restituisce queste misure statistiche. (Ho liberamente tradotto il codice di un programma GW-BASIC scritto da Roberto Vacca e pubblicato sul libro “Anche tu matematico” che è possibile acquistare qui e che consiglio vivamente a tutti di leggere!)

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function correl($X,$Y)
{
  if (!is_array($X) && !is_array($Y)) return false;
  if (count($X) <> count($Y)) return false;
  if (empty($X) || empty($Y)) return false;
 
  $n = count($X);
  $mediaX = array_sum($X)/$n; // media delle x
  $mediaY = array_sum($Y)/$n; // media delle y
 
  $SS = 0;
  $SX = 0;
  $SY = 0;
 
  for($i=0;$i<$n;$i++){
    $SS += ($X[$i] - $mediaX) * ($Y[$i] - $mediaY);
    $SX += pow(($X[$i] - $mediaX),2);
    $SY += pow(($Y[$i] - $mediaY),2);
  }
 
  $M = sqrt($SX)/sqrt($n);
  $M2 = pow($M,2);
  $N = sqrt($SY)/sqrt($n);
  $N2 = pow($N,2);
  $RR = $SS / (sqrt($SX) * sqrt($SY));
 
  $res = array("media x"=>$mediaX, 
               "media y"=>$mediaY,
               "correlazione"=>$RR,
               "varianza x"=>$M2,
               "varianza y"=>$N2,
               "dev. standard x"=>$M,
               "dev. standard y"=>$N
              );
 
  return $res;
}

Conclusioni:

La statistica viene spesso usata per trarre conclusioni tanto categoriche quanto errate. Questo perché a fronte di una certa difficoltà nell’eseguire i calcoli, sembra molto semplice trarre le conclusioni. Ma le cose non stanno proprio così perché, riprendendo appunto una citazione latina dal libro di Roberto Vacca: “Post hoc, ergo propter hoc” (trad.: “dopo di questo, quindi a causa di questo”) è una conclusione semplicistica che non rispecchia quasi mai la realtà, che si presenta spesso decisamente più complessa!

Riferimenti ed approfondimenti:

• Wikipedia: Deviazione_standard
• Wikipedia: Varianza
• Wikipedia: Covarianza
• Wikipedia: Indice di correlazione di Pearson
• Wikipedia: Karl Pearson (in inglese)
• Vacca Roberto: “Anche tu matematico” Gli Elefanti Saggi, Garzanti – ISBN 881167584-7